از فوریه تا گابور

در پردازش سیگنال با تبدیل از حوزه زمان به دیگر حوزه ها قصد داریم تا ویژگی هایی که در حوزه زمان به خوبی نمایان نیستند را آشکار نماییم.

عملگر ضرب:

عملگر ضرب در واقع برای شناسایی میزان شباهت دو تابع می تواند به کار رود و عملگر کواریانس در حقیقت از این ویژگی برای همبستگی (شباهت) دو تابع استفاده می کند.

اگر دوتابع مشابه باشند میزان کواریانس بالا می رود در غیر اینصورت میزان کواریانس کاهش می یابد.تبدیل فوریه احتمالا پرکاربردترین ابزار در حوزه پردازش سیگنال تا کنون بوده است. فوریه در سال 1822 در کتابش مطرح کرد که هر تابع غیرپریودیک را می توان با استفاده از انتگرال وزن دار مجموعه ای از توابع سینوسی  و
کسینوسی بیان نمود.

مقدار f بیان کننده یک فرکانس خاص است.

  

وقتی e با یک فرکانس خاصی درX(T) q ضرب می شود میزان شباهت سیگنال مورد نظر را با موج سینوسی در آن فرکانس خاص را نشان می دهد.

توابع مختلفی که با استفاده از تبدیل فوریه و توابع سینوسی بدست آمده اند در زیر نمایش داده شده است.

و اما ضعف تبدیل فوریه
همانطور که در تبدیل فوریه دیده می شود این رابطه، انتگرالی از منفی بینهایت تا مثبت بینهایت از سیگنال می گیرد و با این عمل مقدار متوسط یک فرکانس را در کل سیگنال می دهد، بدون آنکه مکان آن تعیین کند، به عبارت دیگر اطلاعات مکان آن از بین می رود

همانطور که در شکل فوق دیده می شود مکان موج سینوسی فوق عوض شده است اما دامنه دو موج در حوزه فرکانس یکسان است.
انواع سیگنال:1- ایستا 2- غیر ایستا
سیگنال ایستا:
در طول زمان مشخصات آماری سیگنال نظیر میانگین و واریانس تغییر نمی کند ، اطلاعات حوزه زمان معمولا در این سیگنالها مهم نیست.

سیگنالهای غیر ایستا:
در طول زمان مشخصات آماری سیگنال نظیر میانگین و واریانس تغییر می کند(مانند سیگنال صوتی) و تبدیل فوریه بر روی این سیگنالها عملکرد خوبی ندارد.

برای رفع این مشکل گابور پیشنهاد داد تا سیگنال اصلی به پنجره هایی تقسیم شده و تبدیل در آنها گرفته شود.STFT یک سیگنال در حوزه زمان را به یک نمایش دوبعدی زمان فرکانس تبدیل نموده و تغییرات در آن پنجره آشکار می گردد.

نمایش سیگنال STFT بر روی سیگنال آزمایشی بصورت زیر است

لینک دانلود مرجع